Sistemas de Ecuaciones (Método de Sustitución)

Presentación con diapositivas

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Sistemas de Ecuaciones (Método de Igualación)

Presentación con diapositivas

Método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemosdespejada la x:

5 Solución:

Sistemas de ecuaciones (Método Gráfico)

Presentación con diapositivas

SISTEMAS DE ECUACIONES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Potencial de la calculadora en el desarrollo

La finalidad del trabajó del presente ensayo consistió en resaltar la necesidad de establecer una relación más estrecha entre la enseñanza de la aritmética y el álgebra. Esos resultados sugieren que una manera de construir esa relación es logrando que los estudiantes generen significados para los números y sus operaciones que les permitan ir más allá de aplicar los algoritmos de las operaciones aritméticas eficientemente.

La situación que queda por cubrir para considerar a la aritmética como un lenguaje en un sentido más amplio, es crear un ambiente que demande el uso de ese sistema de signos como un medio para que el estudiante logre sus propios fines. Este aspecto debe ser cubierto por las tareas que se diseñan para el uso de la máquina en la clase.

ese estudio previo se deriva el referente teórico en que se sustenta esta investigación, que consiste en concebir la aritmética como un sistema de signos que los sujetos pueden usar para comunicar y manipular ideas matemáticas y establecer analogías entre la adquisición del lenguaje materno y el aprendizaje de las matemáticas escolares. Bajo esta premisa, se asigna a la calculadora el papel de un ambiente en el que los sujetos pueden producir expresiones matemáticas mediante el lenguaje de la aritmética. Un aspecto crucial en este planteamiento, es que la producción de esas expresiones debe darse como una forma de comunicación, lo cual puede lograrse al introducir el uso de la calculadora para realizar actividades que promuevan que el sujeto anticipe una respuesta antes de acudir a la máquina, cuando se ejecuta el procedimiento mediante el que el usuario expresa su estrategia, la respuesta de la máquina le ofrece retroalimentación inmediata que le indica si sus mensajes fueron emitidos y recibidos con la intención y el significado que él quería darles. Este proceso cierra el ciclo de comunicación entre la máquina y el sujeto.

La investigación se orientó a obtener datos que permitieran dar respuesta a las siguientes preguntas:  ¿Qué nociones y estrategias aritméticas desarrollan los estudiantes cuando enfrentan situaciones donde las operaciones aritméticas son el vehículo para obtener respuestas o soluciones, y la ejecución de las operaciones se deja a cargo de la calculadora?  ¿Cuáles son las limitaciones y las bondades de las actividades basadas en la exploración numérica mediante el uso de la calculadora?  ¿Qué situaciones exigen la intervención del maestro? Un resultado importante de este estudio está relacionado con indicios de procesos de generalización mostrados por los estudiantes. A pesar de que las actividades de enseñanza consistieron en manipulaciones numéricas, y por lo mismo se centran en el tratamiento de casos específicos, las estrategias que desarrollaron los estudiantes mostraron una notoria tendencia hacia la generalización de procedimientos. Esta forma de trabajo de los estudiantes puede ser un antecedente importante en el paso de la aritmética al álgebra.

Los datos recabados sugieren que hubo dos factores determinantes en las estrategias que desarrollaron los alumnos en torno a procesos de generalización: (i) el cálculo numérico se hizo descansar en la calculadora, lo cual favoreció que los estudiantes se concentraran en el establecimiento de las relaciones relevantes en la solución de un problema; (ii) el cálculo numérico nunca fue el objetivo final de las actividades, sino un medio para realizarlas. Las actividades así diseñadas y el apoyo de la calculadora, propiciaron que los estudiantes exploraran tantas estrategias como les fue posible sin que eso agotara sus esfuerzos, lo cual parece haber favorecido que en muchas ocasiones encontraran más de una forma de resolver un problema. Este hecho ayudó que los estudiantes rompieran el esquema de respuesta única y se iniciaran en la búsqueda de estrategias más generales y más eficientes. En lo que sigue se presentan algunos episodios del trabajo de los estudiantes que proporcionan evidencia de esto.

Otros alumnos respondieron a la actividad de la tecla descompuesta haciendo una estimación de la suma de los dos números dados, y luego restaban a esa estimación uno de los números dados hasta obtener el otro mediante un proceso de ensayo y error. Erick generó otra estrategia interesante, él encontró que podía hacer la suma sin usar la tecla de sumar “restándole al primer número el otro, pero su negativo”, lo cual corresponde a la identidad a (b)=a+b. Al explorar con la calculadora él había observado que “restar un número negativo es lo mismo que sumarlo”, claramente Erick no podía explicar por qué ese procedimiento funcionaba, su único argumento era la validación empírica que le proporcionaba la máquina.

Computadores de bolsillo: ingrediente esencial

Bert Waits y Frank Demana son profesores de matemáticas de la Universidad Estatal de Ohio, escribieron libros en los que se consideraba la tecnología como herramienta básica en la solución de problemas y la comprensión de las matemáticas. Waits es profesor emérito de matemáticas de la Universidad Estatal de Ohio,miembro de la Junta Directiva del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas y consultor de la firma Texas Instruments Inc. Es autor de libros de texto para la editorial Wesley / Prentice Hall.

El profesor cree que la tecnología en la enseñanza en el aula de clases cambiara de manera muy positiva. Este es el panorama que estoy tratando de mostrar. El contenido

matemático que enseñamos ha ido evolucionando en el tiempo para servir a la sociedad. Los matemáticos han utilizado siempre las herramientas que han tenido disponibles en su época. Los logaritmos, por ejemplo, se inventaron para ayudar en los cálculos aritméticos y se convirtieron en una herramienta para calcular. Si las calculadoras hubieran estado disponibles con anterioridad, científicos y educadores las hubieran utilizado en razón de que son herramientas mejores.

Los efectos de la tecnología en el cómputo demuestra que cualquier contenido matemático que tenga que ver con el cómputo, va a cambiar por efecto de la tecnología. La lección más reciente de la historia tiene que ver con los efectos de la calculadora científica sobre el tipo de cómputo que enseñé entre 1961 y 1976. En muy pocos años, la calculadora científica convirtió en obsoletos algunos de los contenidos matemáticos que yo enseñaba en la Universidad. No entender por que pasó lo que pasó es una locura. Lo que sucedió simplemente fue que la calculadora científica era una herramienta mejor, una mejor manera para calcular.

La manera de establecer un puente entre la forma de hacer álgebra con el lápiz y con el computador, propone que se van a desarrollar sistemas  pedagógicos de álgebra por computador que cerrarán la brecha entre la utilización de este tipo de programas de álgebra como herramienta para calcular y, el no hacer ningún uso de ellos. Por ejemplo, utilizando el software Derive de la calculadora TI-92 Plus de Texas Instruments, o Matemática, usted puede resolver una ecuación con presionar un botón. Yo llamo esto un proceso de “caja negra”: entre la ecuación, oprima un botón, encuentre la solución.

Lo que debe pasar antes de que la tecnología se convierta en parte integral de la enseñanza de matemáticas es que los maestros con una limitada comprensión de cómo usar adecuadamente la tecnología para enseñar y cómo, la tecnología va a afectar y a cambiar el contenido de las matemáticas y las ciencias. Es necesario que los maestros tengan mayores oportunidades de desarrollo profesional que se enfoquen en estos hechos, además del compromiso decidido de hacer de la integración de la tecnología una realidad. Para lograrlo debemos dedicar mucho más dinero y esfuerzo en comprender la necesidad de desarrollo profesional de los maestros. Padres, legisladores y la sociedad en general, deben ponerse de acuerdo con el hecho de que es necesario un desarrollo profesional significativo y continuo y, fondear este acuerdo de manera adecuada, teniendo además en cuenta el tiempo libre que necesitan los maestros para lograrlo. La tecnología tiene que ver tanto con el contenido como con la instrucción. La tecnología puede ofrecer un adelanto pedagógico significativo para la enseñanza y el aprendizaje en ciencias y matemáticas.

La visión del futuro de este profesor es que las tecnologías del computador de bolsillo y del computador personal (PC) están convergiendo. Esto comenzó a mediados de los 80 con la calculadora Casio 7000, la primera graficadora de bolsillo. Cada dos años, aproximadamente, se hace más evidente que el PC o el computador portátil y los dispositivos gráficos de bolsillo, se están fusionando. Estos dispositivos son los actuales computadores de bolsillo. Debe notar usted que yo evito utilizar la palabra “calculadora”. Podemos eliminar la palabra calculadora de nuestro vocabulario y remplazarla por “computador de bolsillo”.

En unos pocos años, los estudiantes caminaran por las escuelas con sus computadores

portátiles poco costosos, computadores de bolsillo, habilitados para trabajar en red,

intercurriculares y con acceso a Internet. Podrán trabajar juntos y recibir retroalimentación oportuna del progreso que están alcanzando. El aprendizaje ya no tendrá el formato de conferencia magistral y memorización que nosotros hemos experimentado. El aula de clase verdaderamente interconectada, ofrecerá un ambiente de aprendizaje dinámico en el que todos los estudiantes puedan participar, demostrar su comprensión y dominar conceptos. El aprendizaje estará  centrado en el estudiante. Es para allá que vamos, y yo, como muchos otros, estoy inmensamente entusiasmado con esto.

5. Alcance filosófico de la axiomática

La axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado a toda la filosofía matemática el del fundamento mismo de esta ciencia. Este problema, que casi no había preocupado a los matemáticos se impuso bruscamente a ellos por la crisis de la teoría de los conjuntos. Elaborada por G. Cantor durante el último cuarto del siglo XIX, la teoría de los conjuntos, después de muchas resistencias, había terminado por aparecer como la base de todo edificio matemático: la aritmética de los números finitos, con la cual se acababa de reconstruir las otras partes de las matemáticas, se podía en efecto construir a su vez como un caso especial, particularmente simple o intuitivo, de la teoría de los conjuntos, después de muchas resistencias, con la cual se acaba de reconstruir las otras partes matemáticas, se podía en efecto construir a su vez como un caso especial, particularmente simple e intuitivo, de la teoría de los conjuntos, el de los conjuntos enumerables. Ahora bien, justo en este momento es cuando surgen, en el interior de la teoría, “antinomias” o “paradojas”, es decir, pares de teoremas contradictorios. El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen ellos mismos elementos. Uno se convencerá fácilmente de que una respuesta afirmativa y una respuesta negativa a esta misma cuestión son igualmente justificables. Semejantes embrollos presentan aquí una gravedad excepcional: para una teoría que ha dejado de apoyarse sobre nociones y verdades intuitivas y que ya no tienen, pues, otra garantía de su validez que la coherencia formal, la menor fisura basta para comprometerlo todo; su lógica tiene la obligación absoluta de ser infalible.

Desde el principio, las investigaciones para una solución se han empeñado en tres direcciones. El empirismo de Borel y Lebesgue, luego prolongado y reforzado al manejo ciego del instrumento lógico; éste no nos ofrece ya garantía desde que salimos de los dominios en donde lo hemos probado largamente, y por eso su extensión al dominio de lo transfinito es engañosa. La intuición es la que juzga, en última instancia, de la validez misma de las reglas lógicas; de suerte que si se le da siempre prioridad sobre el discurso, ya no se expondrá uno a antinomias. Se les evita en efecto. Siguiendo estos principios, se encuentra uno progresivamente llevado a condenar partes considerables, no solamente de la teoría de los conjuntos, sino de más de una teoría matemática antigua y consagrada. Muchos juzgan tales sacrificios excesivos y el remedio demasiado enérgico. Si se quiere conservar la totalidad de las matemáticas clásicas con lo esencial, además de la teoría cantoriana, y permanecer al mismo tiempo fiel a la inspiración de esta última, se ensayará entonces, como lo hizo Russell, la vía del logicismo. Por una parte se mantendrá el propósito de construir las matemáticas a partir de las solas nociones y leyes de la lógica. Pero, ya que estás ha conducido a antinomias que se trata de prohibir, se reforzará por otra parte de las solas nociones y leyes de la lógica. Pero, ya que estas han conducido a antinomias que se trata de prohibir, se reforzará por otra parte las reglas de la lógica de manera tal que ya no permitan terminar ahí. Desgraciadamente para dar a las reglas de lógica el grado exacto de severidad que conviene para excluir las antinomias y sólo a ellas, se ve uno constreñido a establecer ciertos axiomas cuyo carácter extralógico apenas es discutible.

Uno de los principales objetivos de las matemáticas de Hilbert es el de hacer salir de ahí, supliendo por el razonamiento la intuición desfalleciente. La formalización de la axiomática debe permitir establecer por vía demostrativa, sin tener necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es o no consistente.

Aunque el formalismo axiomático no ha resuelto definitivamente el problema del fundamento de las matemáticas, resulta que, tanto para él mismo como para las reacciones que suscitó, lo ha hecho avanzar considerablemente. Por otra parte, ha hecho disminuir grandemente la presión sobre las doctrinas que le eran inicialmente opuestas. Las diferencias entre lógica y axiomatismo casi se han desvanecido hoy, al punto de que las dos tendencias integran en algunos autores como Quine. La multiplicidad de las lógicas, tratadas en adelante según los métodos de la axiomática formalizada, no permite ya casi dar a sus nociones de base un sentido absoluto; y la cuestión de saber dónde termina la lógica y dónde comienzan las matemáticas perdió una buena parte de su sentido. Desde el principio, las investigaciones para una solución se han empeñado en tres direcciones. El empirismo de Borel y Lebesgue, luego prolongado y reforzado al manejo ciego del instrumento lógico; éste no nos ofrece ya garantía desde que salimos de los dominios en donde lo hemos probado largamente, y por eso su extensión al dominio de lo transfinito es engañosa. La intuición es la que juzga, en última instancia, de la validez misma de las reglas lógicas; de suerte que si se le da siempre prioridad sobre el discurso, ya no se expondrá uno a antinomias. Se les evita en efecto. Las diversidades de principio de siglo se resumen hoy en una gran alternativa, según que se conceda la prioridad a la lógica o a la intuición. Aun los dos patios se han aproximado suficientemente para poder ahora comprenderse y trabajar en común.

4. El método axiomático en la ciencia

La formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos veían más que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superfluo, una suerte de juego intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo.

Las ventajas del método axiomático son manifiestas. Es un preciso instrumento de abstracción y análisis.. el paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada renueva el trabajo de abstracción que conduce del número concreto al número aritmético con el reemplazo de términos individuales por variables de las que sólo las relaciones están determinadas del álgebra clásica al álgebra moderna en donde no solamente los objetos sino aun las operaciones efectuadas sobre estos objetos llegan a ser a su vez concretamente indeterminadas, no están fijados  sino por algunas propiedades fundamentales muy abstractas. Por otra parte las nociones fundamentales de una teoría quedan a menudo aún confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas.

Se gana mucho también para el saber mismo. Primerante en su organización de conjunto. Como la anatomía comparada, guiada por el principio de la identidad de plan, discierne bajo su pintoresca variedad los órganos homólogos, así también la axiomática, descubriendo las analogías formales, revela correspondencias insospechadas entre diversos dominios de una misma ciencia y parentescos entre ciencia que parecían extrañas. Al destacar la estructura invariante común a teorías aparentemente heterogéneas, permite dominarlas por el pensamiento y abrazar con la mirada vastos paisajes intelectuales que no se conocían aún sino en fragmentos. En lo cual, los espíritus atentos más al acrecentamiento cuantitativo de los conocimientos que a su organización armoniosa encontrarán también su provecho. Pues esta organización hace sensibles las lagunas que la analogía invita a llenar. Cada teoría saca provecho de las que se le conocen actualmente como emparentadas. Se transfieren aquí, en donde nada intuitivo las sugería, los resultados adquiridos en otra parte. El rigor del método de exposición conduce a su fecundidad para el descubrimiento.

A estas ventajas que ofrecen ya, las primeras axiomáticas, vienen naturalmente a combinarse en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad. El carácter ciego de sus procesos no es su menor interés: permite hacerlos ejecutar por una máquina, y reservar así el espíritu para las operaciones de nivel superior. Por la simbolización y la formalización de las teorías y por medio de los isomorfismos así revelados, las grandes calculadores americanas están llegando a ser al menos auxiliares científicos cuyas aptitudes superan muy ampliamente la ejecución de operaciones o problemas puramente numéricos. Y entre los problemas no numéricos que son aptas para resolver figuran precisamente los problemas de decisión acerca de las axiomáticas formalizadas. Estos usos son aún nuevos y sus desarrollos imprevisibles, pero se concibe que, ya sin la ayuda de máquinas y para el espíritu reducido a sus solos recursos, la simbolización y la formalización llevan la abstracción axiomática, si se puede decir, a la segunda potencia.

Sería difícil medir exactamente la parte que corresponde al método axiomático en el vuelo de la matemática contemporánea. Más bien que de una causalidad claramente orientada sería necesario a menudo hablar de acciones recurrentes o conjugadas. La teoría de los grupos de la que se ha podido decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su pura forma, nació antes que ella y se desarrolló de manera independiente; más el espíritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomática, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos órdenes de investigaciones se encuentran hoy asociados de modo muy íntimo. Todas las teorías matemáticas, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades han sido axiomatizadas hoy y a menudo de múltiples maneras. En Francia, el gran tratado que se publicó progresivamente bajo el pseudónimo genérico de N. Bourbaki se propuso exponer según este método el conjunto de las matemáticas. Se comprende bien, en el caso de una teoría aún bastante próxima a sus orígenes concretos como la axiomatización desembaraza a la ciencia de los problemas concernientes a la esencia de las entidades de que trata, problemas de los cuales hace poco una ciencia racional no creía poder liberarse.