La formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos veían más que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superfluo, una suerte de juego intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo.
Las ventajas del método axiomático son manifiestas. Es un preciso instrumento de abstracción y análisis.. el paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada renueva el trabajo de abstracción que conduce del número concreto al número aritmético con el reemplazo de términos individuales por variables de las que sólo las relaciones están determinadas del álgebra clásica al álgebra moderna en donde no solamente los objetos sino aun las operaciones efectuadas sobre estos objetos llegan a ser a su vez concretamente indeterminadas, no están fijados sino por algunas propiedades fundamentales muy abstractas. Por otra parte las nociones fundamentales de una teoría quedan a menudo aún confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas.
Se gana mucho también para el saber mismo. Primerante en su organización de conjunto. Como la anatomía comparada, guiada por el principio de la identidad de plan, discierne bajo su pintoresca variedad los órganos homólogos, así también la axiomática, descubriendo las analogías formales, revela correspondencias insospechadas entre diversos dominios de una misma ciencia y parentescos entre ciencia que parecían extrañas. Al destacar la estructura invariante común a teorías aparentemente heterogéneas, permite dominarlas por el pensamiento y abrazar con la mirada vastos paisajes intelectuales que no se conocían aún sino en fragmentos. En lo cual, los espíritus atentos más al acrecentamiento cuantitativo de los conocimientos que a su organización armoniosa encontrarán también su provecho. Pues esta organización hace sensibles las lagunas que la analogía invita a llenar. Cada teoría saca provecho de las que se le conocen actualmente como emparentadas. Se transfieren aquí, en donde nada intuitivo las sugería, los resultados adquiridos en otra parte. El rigor del método de exposición conduce a su fecundidad para el descubrimiento.
A estas ventajas que ofrecen ya, las primeras axiomáticas, vienen naturalmente a combinarse en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad. El carácter ciego de sus procesos no es su menor interés: permite hacerlos ejecutar por una máquina, y reservar así el espíritu para las operaciones de nivel superior. Por la simbolización y la formalización de las teorías y por medio de los isomorfismos así revelados, las grandes calculadores americanas están llegando a ser al menos auxiliares científicos cuyas aptitudes superan muy ampliamente la ejecución de operaciones o problemas puramente numéricos. Y entre los problemas no numéricos que son aptas para resolver figuran precisamente los problemas de decisión acerca de las axiomáticas formalizadas. Estos usos son aún nuevos y sus desarrollos imprevisibles, pero se concibe que, ya sin la ayuda de máquinas y para el espíritu reducido a sus solos recursos, la simbolización y la formalización llevan la abstracción axiomática, si se puede decir, a la segunda potencia.
Sería difícil medir exactamente la parte que corresponde al método axiomático en el vuelo de la matemática contemporánea. Más bien que de una causalidad claramente orientada sería necesario a menudo hablar de acciones recurrentes o conjugadas. La teoría de los grupos de la que se ha podido decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su pura forma, nació antes que ella y se desarrolló de manera independiente; más el espíritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomática, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos órdenes de investigaciones se encuentran hoy asociados de modo muy íntimo. Todas las teorías matemáticas, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades han sido axiomatizadas hoy y a menudo de múltiples maneras. En Francia, el gran tratado que se publicó progresivamente bajo el pseudónimo genérico de N. Bourbaki se propuso exponer según este método el conjunto de las matemáticas. Se comprende bien, en el caso de una teoría aún bastante próxima a sus orígenes concretos como la axiomatización desembaraza a la ciencia de los problemas concernientes a la esencia de las entidades de que trata, problemas de los cuales hace poco una ciencia racional no creía poder liberarse.
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