Presentación con diapositivas
Ante la necesidad de substituir las palabras que designaban las nociones primeras de la teoría, aun con el peso de su significación intuitiva, por símbolos desprovistos de sentido previo, y susceptibles en consecuencia de recibir exacta y exclusivamente el que les confieren los axiomas. En lugar de escribir que un punto está situado sobre una recta, se designará, por ejemplo, la relación de incidencia por la letra F, los puntos por las primeras letras mayúsculas, las rectas por las minúsculas, y se anotará simplemente: F. se ve ya con este ejemplo la simbolización no se detiene en las solas nociones propias de la teoría sino que utiliza también el simbolismo de la lógica de las relaciones.
Teóricamente, eso no era sin duda indispensable, ya que las teorías anteriores a una teoría dada, aquí la aritmética y la lógica, intervienen ahí a título operatorio, por tanto, con su verdad material y su sentido usual.
La teoría nos presenta proposiciones primeras que enuncian, en lenguaje simbólico, relaciones lógicas entre términos primeros: puesto que no las propone sino a título de hipótesis, las admitimos como tales, bajo reserva de su compatibilidad. Pero a partir de ahí, no recibiremos un término nuevo si no es definido con la ayuda de los términos primeros, no aceptaremos una proposición nueva si no es demostrada con la ayuda de las proposiciones primeras.
La presentación lógica de las teorías deductivas tomó así, hacia 1920, un nuevo giro, al empeñarse en la vía de la formalización. Para sustraer la validez del sistema a toda apreciación subjetiva, se impone en adelante enunciar, de una manera precisa y detallada que no deje más lugar a una casuística, las reglas de definición y demostración que presiden su construcción. Aquellos mismos que no creen en la omnipotencia de la lógica y que defienden los derechos de la intuición debieron, también ellos, ceder al movimiento para poder justificarse a los ojos de sus adversarios y se ha visto así, cosa no paradójica, enunciar las reglas formales de la lógica intuicionista y constituirse un formalismo intuicionista.
Consideren solamente la estructura formal de las expresiones, la sucesión de los pequeños dibujos que se leen de izquierda a derecha, línea tras línea, sobre la hoja. Son propiamente prescripciones para un cálculo. Son comparables, si se quiere, a las reglas del juego de ajedrez, que nos enseñan cómo se debe inicialmente disponer las piezas, después cuáles son los diversos desplazamientos permitidos para cada pieza.
Una demostración no hará más llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de ciertos encadenamientos lógicos: se ocupará de transformar, por grados sucesivos y sin saltar una etapa, una o varias fórmulas anteriormente escritas como axiomas o teoremas, mencionando, para cada una de estas transformaciones elementales, el número de la regla que la autoriza, hasta que en fin se llegue, línea tras línea, a la fórmula buscada.
La matemática será, en relación a la expresión matemática, lo que la matemática usual es en relación a sus objetos. Hilbert es aún quien, a partir de 1917, dio impulso a este nuevo orden de investigaciones, que comenzaron a desarrollar en Gotinga bajo su dirección, de suerte que su nombre se encuentra íntimamente asociado tanto a la segunda fase de la axiomática como a la primera.
No es un juego gratuito. La matemática se encontraba, en cierta forma, en el punto de encuentro de varias líneas de investigaciones. En primer lugar, en la confluencia de dos corrientes que conocemos ya: una que había tenido su origen en la reflexión sobre el aparato lógico de la geometría y que, al aplicarse para perfeccionarlo, había desembocado en la axiomática; otra que, tendía a reformar la lógica inspirándose en los métodos del álgebra y había logrado constituirla como un cálculo. Por una influencia recíproca, la axiomática se transformaba, pues, en un cálculo, mientras que la lógica, por su lado, se axiomatizaba.
Por lo demás, lejos de que la matemática inventara arbitrariamente nuevos problemas, ella es la que, al contrario, era requerida por ciertos problemas que Hilbert había encontrado desde las primeras investigaciones y en especial el establecimiento de la compatibilidad e independencia de los axiomas de un sistema. Estos problemas no son propiamente problemas matemáticos ya que descansan no sobre los objetos matemáticos mismos, sino sobre las proposiciones que hablan de estos objetos. Como son esenciales a toda investigación axiomática, no podía dejar de hacerse sentir la necesidad de elevarlos a ellos mismos al nivel de la ciencia y tratarlos de manera rigurosa.
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