2. Las primeras axiomáticas

Presentación con diapositivas

Mientras la geometría pretendía mediante sus proposiciones enseñar verdades, la forma racional dada a la presentación de la ciencia podía aparecer como una especie de lujo intelectual. Siendo entonces considerado el encadenamiento lógico como un medio para alcanzar proposiciones verdaderas, o para hacerlas aceptar de los demás según una especie de argumentación retórica eran tolerables algunos defectos de rigor como medio auxiliar a suplirlo: el resultado era alcanzado, la seguridad de la ciencia no era comprometida. No sucede ya lo mismo cuando uno se desinteresa de la verdad material del contenido, para hacer reposar la validez de una geometría sobre la armadura lógica. Entonces, la menor insuficiencia hace desplomarse el edificio: recurrir a al intuición, es violar la regla del juego.

Es Pasch quien, en 1882, intentó la primera axiomatización de la geometría. Si su solución presenta muchas imperfecciones, debidas en parte al hecho de que el autor conserva la actitud del empirismo clásico, al menos planteó claramente el problema: para que la geometría llegue a ser verdaderamente una ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométricos, como debe serlo de las figuras; sólo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos. Durante la deducción puede ser conveniente y útil pensar en la significación de los en la significación de los conceptos geométricos utilizados, pero esto no es una manera alguna necesario; de suerte que precisamente se hace necesario cuando se manifiesta una laguna en la deducción y en la insuficiencia de las proposiciones invocadas como medios de prueba.

Las condiciones fundamentales a las que para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:

1. que sean enunciados explícitamente los términos primeros con ayudo de los cuales se propone definir todos los otros
2. que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras
3. que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.
4. que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos.

Uno de los rasgos que caracterizan más visiblemente la puesta en forma axiómatica de una teoría deductiva es que comienza por despejar y enunciar ahí expresa y exhaustivamente los indefinibles y los indemostrables de la teoría. Semejante fórmula reclama si no correcciones, al menos comentarios interpretativos.

En primer lugar no es lógicamente indispensable que la totalidad de los términos fundamentales y de los postulados sea presentada en bloque desde el principio de la teoría, y agotada antes de que comiencen las definiciones y las demostraciones. Puesto que la teoría axiomatizada alcanza un cierto grado de complejidad, tal procedimiento arriesgaría entorpecer la exposición, sin ninguna ventaja lógica. En este caso, a menudo se juzgará preferible proceder por grados sucesivos y no introducir sino a medida de las necesidades, sea aisladamente se por grupos, las nuevas nociones fundamentales, con los postulados que les corresponden: a condición, bien entendido, de que la cosa sea hecha siempre de modo explícito. Resta el que la mención de los términos no definidos y de las proposiciones no demostradas, debe preceder siempre a la de los términos y proposiciones que derivan de ellos por definición o demostración, y en este sentido relativo es como merecen ser llamados primeros.

Asi como las palabras primero y comienzo, las de indefinible e indemostrable no deben tampoco ser entendidas sino en un sentido relativo y por eso se tiende cada vez más, para no exponerse a una equivocación, a evitarlas. Un término no es indefinible, una proposición no es indemostrable, sino en el interior de un sistema estructurado de una cierta manera.

Es necesario pues, vigilar, cuando se habla de un sistema deductivo, que no se confundan dos acepciones de la palabra sistema, el conjunto de las nociones y proposiciones que lo componen, primitivas y derivadas, y tal o cual organización lógica que es posible darle.