La geometría clásica, pasó durante mucho tiempo por un modelo insuperable de teoría deductiva. Los términos propios de la teoría jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se adelantan sin ser demostradas, a excepción de un pequeño número de entre ellas que se enuncian en primer lugar a título de principios: la demostración no puede remontarse al infinito y debe sin duda reposar sobre algunas proposiciones primeras, pero se ha tenido cuidad de elegirlas de tal manera, que no subsista ninguna duda a su respecto en un espíritu sano. Aunque todo lo que se afirma sea empíricamente verdadero, no se invoca a la experiencia como justificación.
Así, cada teorema se encuentra unido por una relación necesaria a las proposiciones, de las cuales se deduce como consecuencia, de suerte que, paso a paso, se constituye una red apretada en donde, todas las proposiciones comunican entre sí. El conjunto forma un sistema del cual no se podría distraer o modificar una parte sin comprometer el todo. Así, “los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar”. Con ellos, la geometría dejó de ser una colección de recetas prácticas o, cuando más de enunciados empíricos, para llegar a ser una ciencia racional. De ahí el papel pedagógico privilegiado que desde entonces no ha dejado de reconocérsele. Si se le hace estudiar a los niños es menos para enseñar algunas verdades que para disciplinar el espíritu, considerando que su práctica da y desarrolla el hábito de razonamiento riguroso.
La primera cosa que atormentó a los lectores de Euclides fue la intervención de los postulados. Lo que molestó en primer lugar, no eran propiamente los tres postulados que figuran a la cabeza de los Elementos, al lado de las definiciones y de los axiomas, y que tienen un carácter operatorio muy general, con la única mira de anunciar que uno se permitirá construcciones con la regla y el compás. Pero, después de haber comenzado la cadena de sus deducciones, ocurre dos veces que Euclides, en el curso mismo de una demostración y para las necesidades de ésta, invoca una proposición muy particular, que pide se le otorgue, sin poder justificarla de otra manera que por una suerte de llamado a la evidencia intuitiva. Así es como, para demostrar su posición 29, necesita admitir que no pasa más de una sola paralela a esta recta.
La simetría aparente entre la proposición que enuncia que por un punto pasa al menos una paralela, proposición que se establece por una demostración (teorema de existencia), y la que enuncia que pasa una a lo sumo (postulado de unicidad), hacia más escandalosa aún la asimetría de las justificaciones. El postulado de las paralelas sobrevenía así como un eslabón extraño al sistema, como un expediente destinado a llenar una laguna en el encadenamiento lógico. A los ojos de los geómetras tenía el aspecto de teorema empírico, cuya verdad no era puesta en cuestión, pero cuya demostración quedaba por descubrir. Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de postulado. Se sabe cómo el fracaso de las demostraciones directo sugirió la idea de una demostración por el absurdo, y cómo a su vez el fracaso de las demostraciones por el absurdo terminó pronto, por una inversión del punto de vista, en la constitución de las primeras geometrías llamadas no-euclidianas.
El alcance epistemológico de estas nuevas teorías es considerable. En particular, han contribuido grandemente a desplazar el centro de interés de la geometría especulativa, transportándolo del contenido hacia la estructura, de la verdad extrínseca de las proposiciones aisladas hacia la coherencia interna del sistema total. La suma de los ángulos de un triángulo ¿es igual, inferior o superior a dos ángulos rectos?
De los tres casos concebibles, un geómetra antiguo habría respondido que el primero era verdadero, los otros dos falsos. Para un moderno, se trata ahí de tres teoremas distintos, que no se excluyen mutuamente sino que en el interior de un mismo sistema, según que el número de las paralelas sea postulado igual, superior o inferior a uno y que aun se toleran en un sistema debilitado y más general, donde el número de paralelas posibles se deje en suspenso.
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