5. Alcance filosófico de la axiomática

La axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado a toda la filosofía matemática el del fundamento mismo de esta ciencia. Este problema, que casi no había preocupado a los matemáticos se impuso bruscamente a ellos por la crisis de la teoría de los conjuntos. Elaborada por G. Cantor durante el último cuarto del siglo XIX, la teoría de los conjuntos, después de muchas resistencias, había terminado por aparecer como la base de todo edificio matemático: la aritmética de los números finitos, con la cual se acababa de reconstruir las otras partes de las matemáticas, se podía en efecto construir a su vez como un caso especial, particularmente simple o intuitivo, de la teoría de los conjuntos, después de muchas resistencias, con la cual se acaba de reconstruir las otras partes matemáticas, se podía en efecto construir a su vez como un caso especial, particularmente simple e intuitivo, de la teoría de los conjuntos, el de los conjuntos enumerables. Ahora bien, justo en este momento es cuando surgen, en el interior de la teoría, “antinomias” o “paradojas”, es decir, pares de teoremas contradictorios. El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen ellos mismos elementos. Uno se convencerá fácilmente de que una respuesta afirmativa y una respuesta negativa a esta misma cuestión son igualmente justificables. Semejantes embrollos presentan aquí una gravedad excepcional: para una teoría que ha dejado de apoyarse sobre nociones y verdades intuitivas y que ya no tienen, pues, otra garantía de su validez que la coherencia formal, la menor fisura basta para comprometerlo todo; su lógica tiene la obligación absoluta de ser infalible.

Desde el principio, las investigaciones para una solución se han empeñado en tres direcciones. El empirismo de Borel y Lebesgue, luego prolongado y reforzado al manejo ciego del instrumento lógico; éste no nos ofrece ya garantía desde que salimos de los dominios en donde lo hemos probado largamente, y por eso su extensión al dominio de lo transfinito es engañosa. La intuición es la que juzga, en última instancia, de la validez misma de las reglas lógicas; de suerte que si se le da siempre prioridad sobre el discurso, ya no se expondrá uno a antinomias. Se les evita en efecto. Siguiendo estos principios, se encuentra uno progresivamente llevado a condenar partes considerables, no solamente de la teoría de los conjuntos, sino de más de una teoría matemática antigua y consagrada. Muchos juzgan tales sacrificios excesivos y el remedio demasiado enérgico. Si se quiere conservar la totalidad de las matemáticas clásicas con lo esencial, además de la teoría cantoriana, y permanecer al mismo tiempo fiel a la inspiración de esta última, se ensayará entonces, como lo hizo Russell, la vía del logicismo. Por una parte se mantendrá el propósito de construir las matemáticas a partir de las solas nociones y leyes de la lógica. Pero, ya que estás ha conducido a antinomias que se trata de prohibir, se reforzará por otra parte de las solas nociones y leyes de la lógica. Pero, ya que estas han conducido a antinomias que se trata de prohibir, se reforzará por otra parte las reglas de la lógica de manera tal que ya no permitan terminar ahí. Desgraciadamente para dar a las reglas de lógica el grado exacto de severidad que conviene para excluir las antinomias y sólo a ellas, se ve uno constreñido a establecer ciertos axiomas cuyo carácter extralógico apenas es discutible.

Uno de los principales objetivos de las matemáticas de Hilbert es el de hacer salir de ahí, supliendo por el razonamiento la intuición desfalleciente. La formalización de la axiomática debe permitir establecer por vía demostrativa, sin tener necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es o no consistente.

Aunque el formalismo axiomático no ha resuelto definitivamente el problema del fundamento de las matemáticas, resulta que, tanto para él mismo como para las reacciones que suscitó, lo ha hecho avanzar considerablemente. Por otra parte, ha hecho disminuir grandemente la presión sobre las doctrinas que le eran inicialmente opuestas. Las diferencias entre lógica y axiomatismo casi se han desvanecido hoy, al punto de que las dos tendencias integran en algunos autores como Quine. La multiplicidad de las lógicas, tratadas en adelante según los métodos de la axiomática formalizada, no permite ya casi dar a sus nociones de base un sentido absoluto; y la cuestión de saber dónde termina la lógica y dónde comienzan las matemáticas perdió una buena parte de su sentido. Desde el principio, las investigaciones para una solución se han empeñado en tres direcciones. El empirismo de Borel y Lebesgue, luego prolongado y reforzado al manejo ciego del instrumento lógico; éste no nos ofrece ya garantía desde que salimos de los dominios en donde lo hemos probado largamente, y por eso su extensión al dominio de lo transfinito es engañosa. La intuición es la que juzga, en última instancia, de la validez misma de las reglas lógicas; de suerte que si se le da siempre prioridad sobre el discurso, ya no se expondrá uno a antinomias. Se les evita en efecto. Las diversidades de principio de siglo se resumen hoy en una gran alternativa, según que se conceda la prioridad a la lógica o a la intuición. Aun los dos patios se han aproximado suficientemente para poder ahora comprenderse y trabajar en común.

4. El método axiomático en la ciencia

La formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos veían más que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superfluo, una suerte de juego intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo.

Las ventajas del método axiomático son manifiestas. Es un preciso instrumento de abstracción y análisis.. el paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada renueva el trabajo de abstracción que conduce del número concreto al número aritmético con el reemplazo de términos individuales por variables de las que sólo las relaciones están determinadas del álgebra clásica al álgebra moderna en donde no solamente los objetos sino aun las operaciones efectuadas sobre estos objetos llegan a ser a su vez concretamente indeterminadas, no están fijados  sino por algunas propiedades fundamentales muy abstractas. Por otra parte las nociones fundamentales de una teoría quedan a menudo aún confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas.

Se gana mucho también para el saber mismo. Primerante en su organización de conjunto. Como la anatomía comparada, guiada por el principio de la identidad de plan, discierne bajo su pintoresca variedad los órganos homólogos, así también la axiomática, descubriendo las analogías formales, revela correspondencias insospechadas entre diversos dominios de una misma ciencia y parentescos entre ciencia que parecían extrañas. Al destacar la estructura invariante común a teorías aparentemente heterogéneas, permite dominarlas por el pensamiento y abrazar con la mirada vastos paisajes intelectuales que no se conocían aún sino en fragmentos. En lo cual, los espíritus atentos más al acrecentamiento cuantitativo de los conocimientos que a su organización armoniosa encontrarán también su provecho. Pues esta organización hace sensibles las lagunas que la analogía invita a llenar. Cada teoría saca provecho de las que se le conocen actualmente como emparentadas. Se transfieren aquí, en donde nada intuitivo las sugería, los resultados adquiridos en otra parte. El rigor del método de exposición conduce a su fecundidad para el descubrimiento.

A estas ventajas que ofrecen ya, las primeras axiomáticas, vienen naturalmente a combinarse en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad. El carácter ciego de sus procesos no es su menor interés: permite hacerlos ejecutar por una máquina, y reservar así el espíritu para las operaciones de nivel superior. Por la simbolización y la formalización de las teorías y por medio de los isomorfismos así revelados, las grandes calculadores americanas están llegando a ser al menos auxiliares científicos cuyas aptitudes superan muy ampliamente la ejecución de operaciones o problemas puramente numéricos. Y entre los problemas no numéricos que son aptas para resolver figuran precisamente los problemas de decisión acerca de las axiomáticas formalizadas. Estos usos son aún nuevos y sus desarrollos imprevisibles, pero se concibe que, ya sin la ayuda de máquinas y para el espíritu reducido a sus solos recursos, la simbolización y la formalización llevan la abstracción axiomática, si se puede decir, a la segunda potencia.

Sería difícil medir exactamente la parte que corresponde al método axiomático en el vuelo de la matemática contemporánea. Más bien que de una causalidad claramente orientada sería necesario a menudo hablar de acciones recurrentes o conjugadas. La teoría de los grupos de la que se ha podido decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su pura forma, nació antes que ella y se desarrolló de manera independiente; más el espíritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomática, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos órdenes de investigaciones se encuentran hoy asociados de modo muy íntimo. Todas las teorías matemáticas, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades han sido axiomatizadas hoy y a menudo de múltiples maneras. En Francia, el gran tratado que se publicó progresivamente bajo el pseudónimo genérico de N. Bourbaki se propuso exponer según este método el conjunto de las matemáticas. Se comprende bien, en el caso de una teoría aún bastante próxima a sus orígenes concretos como la axiomatización desembaraza a la ciencia de los problemas concernientes a la esencia de las entidades de que trata, problemas de los cuales hace poco una ciencia racional no creía poder liberarse.

3. Las axiomáticas formalizadas

Presentación con diapositivas

Ante la necesidad de substituir las palabras que designaban las nociones primeras de la teoría, aun con el peso de su significación intuitiva, por símbolos desprovistos de sentido previo, y susceptibles en consecuencia de recibir exacta y exclusivamente el que les confieren los axiomas. En lugar de escribir que un punto está situado sobre una recta, se designará, por ejemplo, la relación de incidencia por la letra F, los puntos por las primeras letras mayúsculas, las rectas por las minúsculas, y se anotará simplemente: F. se ve ya con este ejemplo la simbolización no se detiene en las solas nociones propias de la teoría sino que utiliza también el simbolismo de la lógica de las relaciones.

Teóricamente, eso no era sin duda indispensable, ya que las teorías anteriores a una teoría dada, aquí la aritmética y la lógica, intervienen ahí a título operatorio, por tanto, con su verdad material y su sentido usual.

La teoría nos presenta proposiciones primeras que enuncian, en lenguaje simbólico, relaciones lógicas entre términos primeros: puesto que no las propone sino a título de hipótesis, las admitimos como tales, bajo reserva de su compatibilidad. Pero a partir de ahí, no recibiremos un término nuevo si no es definido con la ayuda de los términos primeros, no aceptaremos una proposición nueva si no es demostrada con la ayuda de las proposiciones primeras.

La presentación lógica de las teorías deductivas tomó así, hacia 1920, un nuevo giro, al empeñarse en la vía de la formalización. Para sustraer la validez del sistema a toda apreciación subjetiva, se impone en adelante enunciar, de una manera precisa y detallada que no deje más lugar a una casuística, las reglas de definición y demostración que presiden su construcción. Aquellos mismos que no creen en la omnipotencia de la lógica y que defienden los derechos de la intuición debieron, también ellos, ceder al movimiento para poder justificarse a los ojos de sus adversarios y se ha visto así, cosa no paradójica, enunciar las reglas formales de la lógica intuicionista y constituirse un formalismo intuicionista.

Consideren solamente la estructura formal de las expresiones, la sucesión de los pequeños dibujos que se leen de izquierda a derecha, línea tras línea, sobre la hoja. Son propiamente prescripciones para un cálculo. Son comparables, si se quiere, a las reglas del juego de ajedrez, que nos enseñan cómo se debe inicialmente disponer las piezas, después cuáles son los diversos desplazamientos permitidos para cada pieza.

Una demostración no hará más llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de ciertos encadenamientos lógicos: se ocupará de transformar, por grados sucesivos y sin saltar una etapa, una o varias fórmulas anteriormente escritas como axiomas o teoremas, mencionando, para cada una de estas transformaciones elementales, el número de la regla que la autoriza, hasta que en fin se llegue, línea tras línea, a la fórmula buscada.

La matemática será, en relación a la expresión matemática, lo que la matemática usual es en relación a sus objetos. Hilbert es aún quien, a partir de 1917, dio impulso a este nuevo orden de investigaciones, que comenzaron a desarrollar en Gotinga bajo su dirección, de suerte que su nombre se encuentra íntimamente asociado tanto a la segunda fase de la axiomática como a la primera.

No es un juego gratuito. La matemática se encontraba, en cierta forma, en el punto de encuentro de varias líneas de investigaciones. En primer lugar, en la confluencia de dos corrientes que conocemos ya: una que había tenido su origen en la reflexión sobre el aparato lógico de la geometría y que, al aplicarse para perfeccionarlo, había desembocado en la axiomática; otra que, tendía a reformar la lógica inspirándose en los métodos del álgebra y había logrado constituirla como un cálculo. Por una influencia recíproca, la axiomática se transformaba, pues, en un cálculo, mientras que la lógica, por su lado, se axiomatizaba.

Por lo demás, lejos de que la matemática inventara arbitrariamente nuevos problemas, ella es la que, al contrario, era requerida por ciertos problemas que Hilbert había encontrado desde las primeras investigaciones y en especial el establecimiento de la compatibilidad e independencia de los axiomas de un sistema. Estos problemas no son propiamente problemas matemáticos ya que descansan no sobre los objetos matemáticos mismos, sino sobre las proposiciones que hablan de estos objetos. Como son esenciales a toda investigación axiomática, no podía dejar de hacerse sentir la necesidad de elevarlos a ellos mismos al nivel de la ciencia y tratarlos de manera rigurosa.

2. Las primeras axiomáticas

Presentación con diapositivas

Mientras la geometría pretendía mediante sus proposiciones enseñar verdades, la forma racional dada a la presentación de la ciencia podía aparecer como una especie de lujo intelectual. Siendo entonces considerado el encadenamiento lógico como un medio para alcanzar proposiciones verdaderas, o para hacerlas aceptar de los demás según una especie de argumentación retórica eran tolerables algunos defectos de rigor como medio auxiliar a suplirlo: el resultado era alcanzado, la seguridad de la ciencia no era comprometida. No sucede ya lo mismo cuando uno se desinteresa de la verdad material del contenido, para hacer reposar la validez de una geometría sobre la armadura lógica. Entonces, la menor insuficiencia hace desplomarse el edificio: recurrir a al intuición, es violar la regla del juego.

Es Pasch quien, en 1882, intentó la primera axiomatización de la geometría. Si su solución presenta muchas imperfecciones, debidas en parte al hecho de que el autor conserva la actitud del empirismo clásico, al menos planteó claramente el problema: para que la geometría llegue a ser verdaderamente una ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométricos, como debe serlo de las figuras; sólo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos. Durante la deducción puede ser conveniente y útil pensar en la significación de los en la significación de los conceptos geométricos utilizados, pero esto no es una manera alguna necesario; de suerte que precisamente se hace necesario cuando se manifiesta una laguna en la deducción y en la insuficiencia de las proposiciones invocadas como medios de prueba.

Las condiciones fundamentales a las que para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:

1. que sean enunciados explícitamente los términos primeros con ayudo de los cuales se propone definir todos los otros
2. que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras
3. que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.
4. que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos.

Uno de los rasgos que caracterizan más visiblemente la puesta en forma axiómatica de una teoría deductiva es que comienza por despejar y enunciar ahí expresa y exhaustivamente los indefinibles y los indemostrables de la teoría. Semejante fórmula reclama si no correcciones, al menos comentarios interpretativos.

En primer lugar no es lógicamente indispensable que la totalidad de los términos fundamentales y de los postulados sea presentada en bloque desde el principio de la teoría, y agotada antes de que comiencen las definiciones y las demostraciones. Puesto que la teoría axiomatizada alcanza un cierto grado de complejidad, tal procedimiento arriesgaría entorpecer la exposición, sin ninguna ventaja lógica. En este caso, a menudo se juzgará preferible proceder por grados sucesivos y no introducir sino a medida de las necesidades, sea aisladamente se por grupos, las nuevas nociones fundamentales, con los postulados que les corresponden: a condición, bien entendido, de que la cosa sea hecha siempre de modo explícito. Resta el que la mención de los términos no definidos y de las proposiciones no demostradas, debe preceder siempre a la de los términos y proposiciones que derivan de ellos por definición o demostración, y en este sentido relativo es como merecen ser llamados primeros.

Asi como las palabras primero y comienzo, las de indefinible e indemostrable no deben tampoco ser entendidas sino en un sentido relativo y por eso se tiende cada vez más, para no exponerse a una equivocación, a evitarlas. Un término no es indefinible, una proposición no es indemostrable, sino en el interior de un sistema estructurado de una cierta manera.

Es necesario pues, vigilar, cuando se habla de un sistema deductivo, que no se confundan dos acepciones de la palabra sistema, el conjunto de las nociones y proposiciones que lo componen, primitivas y derivadas, y tal o cual organización lógica que es posible darle.

1. Los defectos del aparato Euclidiano

Presentación con diapositivas

La geometría clásica, pasó durante mucho tiempo por un modelo insuperable de teoría deductiva. Los términos propios de la teoría jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se adelantan sin ser demostradas, a excepción de un pequeño número de entre ellas que se enuncian en primer lugar a título de principios: la demostración no puede remontarse al infinito y debe sin duda reposar sobre algunas proposiciones primeras, pero se ha tenido cuidad de elegirlas de tal manera, que no subsista ninguna duda a su respecto en un espíritu sano. Aunque todo lo que se afirma sea empíricamente verdadero, no se invoca a la experiencia como justificación.

Así, cada teorema se encuentra unido por una relación necesaria a las proposiciones, de las cuales se deduce como consecuencia, de suerte que, paso a paso, se constituye una red apretada en donde, todas las proposiciones comunican entre sí. El conjunto forma un sistema del cual no se podría distraer o modificar una parte sin comprometer el todo. Así, “los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar”. Con ellos, la geometría dejó de ser una colección de recetas prácticas o, cuando más de enunciados empíricos, para llegar a ser una ciencia racional. De ahí el papel pedagógico privilegiado que desde  entonces no ha dejado de reconocérsele. Si se le hace estudiar a los niños es menos para enseñar algunas verdades que para disciplinar el espíritu, considerando que su práctica da y desarrolla el hábito de razonamiento riguroso.

La primera cosa que atormentó a los lectores de Euclides fue la intervención de los postulados. Lo que molestó en primer lugar, no eran propiamente los tres postulados que figuran a la cabeza de los Elementos, al lado de las definiciones y de los axiomas, y que tienen un carácter operatorio muy general, con la única mira de anunciar que uno se permitirá construcciones con la regla y el compás. Pero, después de haber comenzado la cadena de sus deducciones, ocurre dos veces que Euclides, en el curso mismo de una demostración y para las necesidades de ésta, invoca una proposición muy particular, que pide se le otorgue, sin poder justificarla de otra manera que por una suerte de llamado a la evidencia intuitiva. Así es como, para demostrar su posición 29, necesita admitir que no pasa más de una sola paralela a esta recta.

La simetría aparente entre la proposición que enuncia que por un punto pasa al menos una paralela, proposición que se establece por una demostración (teorema de existencia), y la que enuncia que pasa una a lo sumo (postulado de unicidad), hacia más escandalosa aún la asimetría de las justificaciones. El postulado de las paralelas sobrevenía así como un eslabón extraño al sistema, como un expediente destinado a llenar una laguna en el encadenamiento lógico. A los ojos de los geómetras tenía el aspecto de teorema empírico, cuya verdad no era puesta en cuestión, pero cuya demostración quedaba por descubrir. Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de postulado. Se sabe cómo el fracaso de las demostraciones directo sugirió la idea de una demostración por el absurdo, y cómo a su vez el fracaso de las demostraciones por el absurdo terminó pronto, por una inversión del punto de vista, en la constitución de las primeras geometrías llamadas no-euclidianas.

El alcance epistemológico de estas nuevas teorías es considerable. En particular, han contribuido  grandemente a desplazar el centro de interés de la geometría especulativa, transportándolo  del contenido hacia la estructura, de la verdad extrínseca de las proposiciones aisladas hacia la coherencia interna del sistema total. La suma de los ángulos de un triángulo ¿es igual, inferior o superior a dos ángulos rectos?

De los tres casos concebibles, un geómetra antiguo habría respondido que el primero era verdadero, los otros dos falsos. Para un moderno, se trata ahí de tres teoremas distintos, que no se excluyen mutuamente sino que en el interior de un mismo sistema, según que el número de las paralelas sea postulado igual, superior o inferior a uno y que aun se toleran en un sistema debilitado y más general, donde el número de paralelas posibles se deje en suspenso.

Historia y filosofía de las matemáticas

La reflexión y el debate sobre la naturaleza de las matemáticas son muy importantes, pero resulta más apropiado que los realicemos poco a poco a lo largo de todo nuestro libro. La realidad es que, más o menos, todos sabemos a qué se refieren las matemáticas. Y es preferible que primeramente ampliemos nuestra visión sobre estos quehaceres que en la historia se han considerado matemáticos para luego buscar mayor claridad sobre la naturaleza de éstos.

Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al cálculo de terrenos, a la decoración en cerámica, al comercio más trivial, a los modelos y diseños en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana. Esto no debe, sin embargo, verse con malos ojos. Porque se trata de un sentido íntimo de las matemáticas, imbricadas en la práctica humana, inmersas interactivamente en su entorno.

"La matemática Oriental se originó como una ciencia práctica para facilitar el cómputo del calendario, la administración de las cosechas, la organización de trabajos públicos, y la recolecta de impuestos. El énfasis inicial estaba naturalmente en la aritmética práctica y la medición. Sin embargo, una ciencia cultivada durante siglos por un oficio especial cuya tarea no sólo es aplicarlo sino también para instruir en sus secretos, desarrolla tendencias hacia la abstracción. Gradualmente, llegará a ser estudiada en sí misma. La aritmética no sólo evolucionó hacia el álgebra porque permitió cómputos prácticos mejores, pero también porque era el resultado natural de una ciencia cultivada y desarrollada en las escuelas de escribas. Por estas mismas razones, la medición se desarrolló hacia los principios -pero no más- de una geometría teórica.''

Muchas de las matemáticas en las culturas orientales deben buscarse en esas realizaciones prácticas precisamente, para evaluar el conocimiento matemático de que disponían.

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemáticas, importantes nutrientes de las matemáticas griegas, fueron la egipcia y la babilónica, pueblos que ocuparon regiones alrededor de importantes ríos: respectivamente, alrededor del Nilo y alrededor del Tigris y Éufrates. En el caso de estos últimos, es necesario decir que no se trataba de una sola civilización sino, más bien, de varios pueblos alrededor de las regiones mencionadas. A pesar de ello, se considera que, en relación con las matemáticas, hubo cierta continuidad y una tradición desde los tiempos más remotos hasta la conquista de esos territorios por parte de los macedonios.

La historia de las matemáticas en Egipto, aunque diferente de la de los babilonios, no trascendió los límites prácticos y la evidencia empírica en sus construcciones teóricas.

Según la opinión de los historiadores, Egipto nace alrededor del año cuatro mil a.C. y su máximo esplendor se dio alrededor del año 2 500 a.C. Al igual que con Mesopotamia, la civilización siguió un curso que se vería drásticamente alterado solo hasta la conquista macedonia.

Las principales referencias que tenemos en relación con las matemáticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un material frágil, por lo que realmente se tiene muy poca base para una descripción precisa de la naturaleza y los límites de la cultura y las matemáticas de esta civilización.

Uno de los papiros sobrevivientes es el llamado papiro de Moscú (se encuentra en el Museo de Bellas Artes de Moscú), otro el papiro Rhind -en honor de Henry Rhind- también llamado el papiro Ahmes, el nombre supuestamente del autor (este último en el Museo Británico). Se ha cifrado el año 1 650 a.C. para este último, y 1 850 a.C. para el primer papiro.

En relación con el primero, aparecen 87 problemas y sus soluciones, en el segundo 25.

Según la opinión de los historiadores, las matemáticas que aparecen en estos papiros ya eran conocidas por lo menos desde el año 3 500 a.C.

Es conocido el hecho de que la escritura egipcia era realizada por medio de los jeroglíficos, lo que también sucedía con los símbolos numéricos. Sin embargo, se puede considerar que usaron 3 sistemas de notación diferentes: jeroglífico, hierático y demótico. El primero mediante imágenes, el segundo simbólico, y el tercero una adaptación de la notación hierática. Se afirma que los dos primeros se usaron desde temprano en la historia egipcia, y precisamente el segundo aparece en los papiros mencionados. La última notación habría sido relevante en los periodos griego y romano de los egipcios.

Los egipcios poseían una aritmética básicamente aditiva, es decir, por ejemplo, reducían la división y la multiplicación a sumas. En la notación jeroglífica usaron símbolos específicos para las potencias de 10. En la hierática, también se usaba las potencias del 10, pero con menos símbolos.

La notación jeroglífica fue sustituida por la hierática.

Los babilonios

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas maneras. No nos permiten una visión exacta de las características en que se desarrollaron cultural y matemáticamente. En relación con Mesopotamia, los registros más antiguos datan del 3 500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las matemáticas. La mayoría de los registros de que se dispone son del periodo llamado Antiguo, más o menos alrededor del 2 500 a.C.

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del siglo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson.

La aritmética más desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la Acadiana. Dos de las características más importantes de su sistema numérico fueron la base 60 y la notación posicional. No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otras bases también. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistemas numéricos determinados por circunstancias históricas o incluso regionales. En lo que sí parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemático de la base 60 para todos los cálculos relacionados con la astronomía. Esto debe subrayarse:

"Tanto el sistema sexagesimal como el sistema del valor del lugar han permanecido en posesión permanente de la humanidad. Nuestra división presente de la hora en 60 minutos y 3 600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Hay razón para creer que esta opción de 60 en lugar de 10 como una unidad ocurrió en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia permanente se ha comparado con el alfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un método fácilmente entendible por muchas personas). Es razonable suponer que hindúes y griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo describieron como una invención india. La tradición babilónica, sin embargo, puede haber influido en la aceptación tardía del sistema posicional.''

No poseían sin embargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Estos problemas implicaban cierto nivel de ambigüedad en el sistema numérico. De hecho, se afirma que -aunque lo usaban- no se trataba de un sistema posicional absoluto.